مطالعه واریته های قاطع بالاتر یک واریته با رویکردی ترکیبیاتی

مطالعه ی واریته های الحاقی و واریته های قاطع واریته های تصویری، یکی از مـوضوعات کلاسـیک در هندسه ی جبری است و تاکنون هندسه دانان بسیاری، درباره ی بعد و درجه ی این واریته ها مطالعه کرده اند. ما در این پایان نامه، یک چارچوب ترکیبیاتی برای مطالعه ی ساختمان واریته های الحاقی و قاطع واریته های تصویری ارائه می دهیم. برای این منظور، ابتدا مفهوم الحاق و قاطع واریته های تصویری را معرفی کرده و از دیدگاه جبری، این مفاهیم را برای ایده آل های همگن دلخواه در یک حلقه ی چندجمله ای تعریف می کنیم. سپس، به دلیل این که تک جمله ای ها، نقش مهمی در ایجاد تعامل بین سه حوزه ی جبر جا به جایی، هندسه و ترکـیبیات بر عـهده دارند، به طور مشخـص، به مطـالعـه ی ایده آل هـای قـاطع ایده آل هـای تک جـمله ای می پردازیم و با شرط صفر بودن مشخصه ی میدان، یک رابطه ی صریح برای محاسبه ی الحاق ایده آل های تک جمله ای، با استفاده از ضرب دوگان الکساندر آن ها ارائه می دهیم. در ادامه، با رویکردی ترکیبیاتی، ایده آل های قاطع ایده آل های تولید شده توسط تک جمله ای های خالی از مربع درجه ی دو را مطالعه کرده و با توجّه به خواص رنگی گراف هایی که به این ایده آل ها نظیر می شوند، مولد های ایده آل های قاطع بالاتر آن ها را به دست می آوریم. بر همین اساس، یک نتیجه ی جالب در مورد گراف های تام، به دست می آید که با استفاده از آن، روایت جبری قضیه ی شناخته شده ی گراف تام قوی را بیان خواهیم نمود. به علاوه، به کمک ابزاری به نام تبه شدگی گروبنر‎، مسأله ی مطالعه ی ایده آل های الحاق و قاطع ایده آل های دلخواه را به مسأله ی مطالعه ی ایده آل های الحاق و قاطع ایده آل های تک جمله ای، تقلیل می دهیم. در همین راسـتا، نشـان می دهیم که ایده آل قاطـع یک ایده آل آغـازی شـامل ایده آل آغـازی ایده آل قاطع آن ایده آل می باشد و ترتیب دلپذیر را برای یک ایده آل در حالتی که این رابطه ی شمول به تساوی بدل شود، معرفی می کنیم. به عنوان نتیجه، ثابت می کنیم که ترتیب قطری برای ایده آل های دترمینانی، دلپذیر است. سرانجام، از آن جا که ایده آل های تعریف کننده ی خانواده ی بزرگی از واریته ها در هندسه ی جبری، توسط دوجمله ای ها تولید شده و اصطلاحاً توریک نامیده می شوند، تکنیک های به دست آمده را برای مطالعه واریته های قاطع واریته های توریک به کار می گیریم. نشان می دهیم که چگونه اطلاعاتمان در مورد چنین واریته های قاطعی می تواند از مثلث بندی های منظم چندوجهی های نظیر واریته های توریک به دست آید. به طور مشخص، علاقه مند به یافتن مثلث بندی های دلپذیر (مربوط به ترتیب های دلپذیر) برای واریته های توریک هستیم. به همین خاطر، شرایط وجود مثلث بندی دلپذیر را برای واریته های طوماری نرمال گویا، به عنوان رده ای از واریته های توریک، بررسی می نماییم.